Свойства дискретного преобразования Фурье

Содержание
Введение
Ранее были получены выражения для прямого и обратного дискретного преобразования Фурье. Приведем их еще раз:
$$ S(k) = \text{DFT} \big[ s(n) \big] = \sum_{n=0}^{N-1} s(n) \cdot \exp \left( -j \cdot \frac{2 \pi}{N} \cdot n \cdot k \right) = \sum_{n=0}^{N-1} s(n) \cdot W_{N}^{n \cdot k} \text{;} $$ $$ s(n) = \text{IDFT} \big[S(k) \big] = \frac{1}{N} \cdot \sum_{k=0}^{N-1} S(k) \cdot \exp \left( j \cdot \frac{2 \pi}{N} \cdot n \cdot k \right) = \sum_{k=0}^{N-1} S(k) \cdot W_{N}^{-n \cdot k} \text{;} $$ $$ W_{N}^{n \cdot k} = \exp \left( -j \cdot \frac{2 \pi}{N} \cdot n \cdot k \right) \text{; } n = 0 \ldots N-1 \text{; } k = 0 \ldots N-1 \text{,} $$
(1)
где $\text{DFT}\big[ \bullet \big]$ — оператор ДПФ, а $\text{IDFT}\big[\bullet \big]$ — оператор обратного ДПФ, а $W_N^{n \cdot k}$ носят название поворотных коэффициентов ДПФ. Везде далее в этом разделе считается, что $n = 0 \ldots N-1$ и $k = 0 \ldots N-1$ индексируют временные и спектральные отсчеты соответственно.
В данном разделе будут рассмотрены некоторые свойства ДПФ.
Линейность ДПФ
ДПФ суммы сигналов равен сумме ДПФ этих сигналов. Если $s(n)=x(n) + y(n),$ то:
$$ S(k) = \text{DFT} \big[ s(n) \big] = \text{DFT} \big[ x(n) + y(n) \big] = $$ $$ = \sum_{n = 0}^{N-1} \big(x(n) + y(n) \big) \cdot W_N^{n \cdot k} = \sum_{n = 0}^{N-1} x(n) \cdot W_N^{n \cdot k} + \sum_{n = 0}^{N-1} y(n) \cdot W_N^{n \cdot k} = $$ $$ = X(k) + Y(k) \textrm{, } k = 0\ldots N-1, $$
(2)
где $X(k)$ и $Y(k)$ ДПФ сигналов $x(n)$ и $y(n)$ соответственно.
При умножении сигнала на константу $a$ ДПФ сигнала также умножается на константу:
$$ S(k) = \text{DFT} \big[ a \cdot x(n) \big] = a \cdot X(k). $$
(3)
ДПФ сигнала с циклическим временным сдвигом
Пусть $S(k)$ - ДПФ сигнала $s(n)$. Если сдвинуть исходный сигнал $s(n)$ циклически на $m$ отсчетов, т.е. $x(n) = s(n-m)$, тогда ДПФ сдвинутого сигнала равно:
$$ X(k) = \text{DFT} \big[s(n-m) \big] = \sum_{n=0}^{N-1}s(n-m) \cdot W_N^{n\cdot k}, \text{ } k=0 \ldots N-1. $$
(4)
Введем замену переменной $n-m=r$, тогда $n = m+r$ и (4) можно записать:
$$ X(k) = \sum_{r = 0}^{N-1} s(r) \cdot W_N^{(r+m)\cdot k} = \sum_{r = 0}^{N-1} s(r) \cdot W_N^{r\cdot k} \cdot W_N^{m\cdot k} = $$ $$ =S(k) \cdot \exp \left(-j \cdot \frac{2 \pi}{N} \cdot m \cdot k \right) = S(k) \cdot W_N^{m \cdot k}. $$
(5)
Таким образом, циклический сдвиг сигнала на $m$ отсчетов приводит к повороту фазового спектра, в то время как амплитудный спектр не меняется.
Выражение (5) справедливо только для циклического сдвига, пример которого показан на рисунке 1.
Рисунок 1. Пример циклического сдвига сигнала
Красным цветом на верхнем графике показан исходный сигнал $s(n)$, на среднем — $s(n)$ с циклическим сдвигом $m=-3$ отсчета (с опережением), а на нижнем графике — $s(n)$, сдвинутый на $m=3$ отсчета (с запаздыванием). Видно, что при циклическом сдвиге с опережением, первые $m$ отчетов переносятся из начала в конец выборки. При запаздывании последние $m$ отчетов переносятся из конца выборки в начало.
ДПФ циклической свертки сигналов
Пусть сигнал $s(n)$ есть результат циклической свертки сигналов $a(n)$ и $b(n)$:
$$ s(n)=\sum_{m=0}^{N-1}a(m) \cdot b(n-m). $$
(6)
Рассчитаем ДПФ сигнала $s(n)$:
$$ S(k)= \text{DFT} \big[s(n) \big] = \sum_{n=0}^{N-1} \left(\sum_{m=0}^{N-1}a(m) \cdot b(n-m) \right) \cdot W_N^{n \cdot k}. $$
(7)
Поменяем местами операции суммирования:
$$ S(k)= \sum_{m=0}^{N-1} a(m) \cdot \underbrace{\sum_{n=0}^{N-1} b(n-m) \cdot W_N^{n \cdot k}}_{B(k) \cdot W_N^{m \cdot k}}= $$ $$ =\sum_{m=0}^{N-1} a(m) \cdot B(k) \cdot W_N^{m \cdot k} = B(k) \cdot \sum_{m=0}^{N-1} a(m)\cdot W_N^{m \cdot k} = B(k) \cdot A(k). $$
(8)
При выводе выражения (8) было использовано свойство циклического временного сдвига.
Таким образом, ДПФ циклической свертки двух сигналов равен произведению ДПФ этих сигналов. Это свойство позволяет использовать алгоритмы быстрого преобразования Фурье для вычисления сверток сигналов.
ДПФ произведения двух сигналов
Пусть сигнал $s(n)$ равен произведению сигналов $a(n)$ и $b(n)$, т.е. $s(n)= a(n) \cdot b(n)$, причем $A(k)$ и $B(k)$ - ДПФ сигналов $a(n)$ и $b(n)$ соответственно. Тогда ДПФ сигнала $s(n)$ равно:
$$ S(k) = \sum_{n=0}^{N-1} s(n) \cdot W_N^{n \cdot k} = \sum_{n=0}^{N-1} a(n) \cdot b(n) \cdot W_N^{n \cdot k}. $$
(9)
Подставим в (9) $a(n)$ в виде ОДПФ от спектра $A(k)$:
$$ S(k) = \sum_{n=0}^{N-1} a(n) \cdot b(n) \cdot W_N^{n \cdot k} = \sum_{n=0}^{N-1} \left( \frac{1}{N} \sum_{m=0}^{N-1} A(m) \cdot W_N^{-m \cdot n} \right) \cdot b(n) \cdot W_N^{n \cdot k}. $$
(10)
Поменяем местами операции суммирования в выражении (10) и получим:
$$ S(k) = \frac{1}{N} \sum_{m=0}^{N-1} A(m) \cdot \underbrace{ \sum_{n=0}^{N-1} b(n) \cdot W_N^{(k-m) \cdot n} }_{B(k-m)}= \frac{1}{N} \sum_{m=0}^{N-1} A(m) \cdot B(k-m). $$
(11)
Таким образом, ДПФ произведения сигналов представляет собой циклическую свертку ДПФ этих сигналов.
Свойство циклического частотного сдвига ДПФ
Пусть $S(k)$ - ДПФ сигнала $s(n)$. Произведем циклический сдвиг спектра $S(k-m)$ и рассмотрим ОДПФ, тогда:
$$ x(n) = \dfrac{1}{N} \cdot \sum_{k=0}^{N-1} S(k-m) \cdot W_N^{-k \cdot n}= \left| {{r = k-m} \atop {k = r+m}} \right| = \frac{1}{N} \cdot \sum_{r =0}^{N-1}S(r) \cdot W_N^{-(r+m) \cdot n} = $$ $$ = \underbrace{\frac{1}{N} \cdot \sum_{r =0}^{N-1}S(r) \cdot W_N^{-r \cdot n}}_{s(n)} \cdot W_N^{-m \cdot n} = s(n) \cdot \exp \left( j \cdot \frac{2\pi}{N} \cdot m \cdot n \right). $$
(12)
Таким образом, циклический частотный сдвиг ДПФ осуществляется умножением сигнала на комплексную экспоненту. Важно отметить, что после умножения на комплексную экспоненту вещественного сигнала, результирующий сигнал будет комплексным, а его спектр перестанет быть симметричным.
Симметрия ДПФ вещественного сигнала
Если исходный сигнал действительный, то есть $\Im[s(n)] = 0$ для $n = 0 \ldots N-1$, тогда для четного $N$:
$$ S\left(\frac{N}{2}\right) = \sum_{n=0}^{N-1} s(n) \cdot \exp\left( - j\cdot\frac{2\pi}{N}\cdot n\cdot \frac{N}{2} \right) = $$
$$ = \sum_{n=0}^{N-1} s(n)\cdot \exp\left( - j \cdot n \cdot \pi \right) = \sum_{n=0}^{N-1} \left(-1\right)^n \cdot s(n) . $$
(13)
Спектральный отсчет $S\left( \frac{N}{2} \right)$ также не имеет мнимой части.
Рассмотрим теперь $S(m),$ $m=1 \ldots \frac{N}{2} - 1$ и $S(N-m)$:
$$ S\left(N-m\right) = \sum_{n=0}^{N-1} s(n) \cdot \exp\left( - j\cdot\frac{2\pi}{N}\cdot n\cdot (N-m) \right) = $$ $$ = \sum_{n=0}^{N-1} s(n)\cdot \exp\left( - j\cdot 2 \pi \cdot n \right) \cdot \exp\left( j\cdot \frac{2 \pi}{N} \cdot n \cdot m \right). $$
(14)
Учтем, что $\exp(-j \cdot 2 \pi \cdot n) = 1$ для любого целого $n$. В этом случае:
$$ S(N-m) = S^{*}(m),\text{ } m=1 \ldots {\frac{N}{2}} - 1, \textrm{ Для четного }N; $$
$$ S(N-m) = S^{*}(m),\text{ } m=1 \ldots {\frac{N-1}{2}} - 1, \textrm{ Для нечетного }N; $$
(15)
то есть вторая половина спектральных отсчетов комплексно сопряжена с первой.
На рисунке 2а представлен вид действительной и мнимой частей комплексного спектра действительного сигнала при четном $N$. Красным отмечены чисто вещественные $S(0)$ и $S \left(\frac{N}{2} \right)$ спектральные составляющие.
Рисунок 2. Реальная и мнимая части ДПФ действительного сигнала
На рисунке 2б показана действительная и мнимая части комплексного спектра действительного сигнала при нечетном $N$. В случае нечетного $N$ только первый спектральный отсчет ДПФ вещественного сигнала является вещественным. Остальные спектральные отсчеты в общем случае комплексные.
Частотная инверсия спектра вещественного сигнала для четного $N$
Инверсия по частоте спектра сигнала показана на рисунке 3 для четного $N$.
Рисунок 3. Частотная инверсия спектра
вещественного сигнала
для четного $N$
Если $S(k)$ - спектр сигнала $s(n)$, то инверсный спектр $S_{\rm{inv}}(k)$ равен:
$$ S_{\rm{inv}}(k) = \begin{cases} S\left(k + \frac{N}{2} \right), &\text{если $k = 0 \ldots \frac{N}{2}-1$;}\\ S\left(k - \frac{N}{2} \right), &\text{если $k = \frac{N}{2} \ldots N-1.$} \end{cases} $$
(16)
В силу симметрии ДПФ вещественного сигнала мы можем произвести частотную инверсию спектра сигнала путем перестановки спектральных составляющих.
Рассмотрим инверсный спектр $S_{\rm{inv}}(k)$ для $k = 0 \ldots \frac{N}{2}-1$:
$$ S_{\rm{inv}}(k) = S \left( k + \frac{N}{2}\right) = $$ $$ =\sum_{n = 0}^{N-1}s(n) \cdot W_{N}^{\left( k+ \frac{N}{2}\right) \cdot n} = \sum_{n = 0}^{N-1}s(n) \cdot W_{N}^{k \cdot n} \cdot W_{N}^{\frac{N}{2} \cdot n} = $$ $$ = \sum_{n = 0}^{N-1}s(n) \cdot W_{N}^{k \cdot n} \cdot \exp \left( -j \cdot \frac{2\pi}{N} \cdot \frac{N}{2} \cdot n \right) = $$ $$ = \sum_{n = 0}^{N-1}s(n) \cdot W_{N}^{k \cdot n} \cdot \exp \left( -j \cdot \pi \cdot n \right) = $$ $$ = \sum_{n = 0}^{N-1}(-1)^n \cdot s(n) \cdot W_{N}^{k \cdot n}, \text{ } k = 0 \ldots \frac{N}{2}-1. $$
(17)
Аналогично $S_{\rm{inv}}(k)$ для $k = \frac{N}{2} \ldots N-1$ равно:
$$ S_{\rm{inv}}(k) = S \left( k - \frac{N}{2}\right) = \sum_{n = 0}^{N-1}s(n) \cdot W_{N}^{\left( k- \frac{N}{2}\right) \cdot n} = \sum_{n = 0}^{N-1}s(n) \cdot W_{N}^{k \cdot n} \cdot W_{N}^{-\frac{N}{2} \cdot n} = $$ $$ = \sum_{n = 0}^{N-1}s(n) \cdot W_{N}^{k \cdot n} \cdot \exp \left( j \cdot \frac{2\pi}{N} \cdot \frac{N}{2} \cdot n \right) = \sum_{n = 0}^{N-1}s(n) \cdot W_{N}^{k \cdot n} \cdot \exp \left( j \cdot \pi \cdot n \right) = $$ $$ = \sum_{n = 0}^{N-1}(-1)^n \cdot s(n) \cdot W_{N}^{k \cdot n}, \text{ } k = \frac{N}{2} \ldots N-1. $$
(18)
Таким образом, для частотной инверсии спектра вещественого сигнала, в соответствии с (16), необходимо каждый второй отсчет умножить на $-1$. При этом важно отметить, что умножать необходимо отсчеты начиная со второго, т.е. для $n = 1,3,5,7, \dots$, потому что индексация отсчетов начинается с $n = 0$. Если же умножить на $-1$ каждый второй отсчет начиная с первого, то получим инверсный спектр с отрицательным знаком $-S_{\rm{inv}}(k)$.
Отметим, что (18) справедливо только для четного $N$.
На рисунке 4 показано, что частотная инверсия спектра соответствует циклическому частотному сдвигу спектра на $\frac{N}{2}$ спектральных отсчетов в сторону опережения, или запаздывания.
Рисунок 4. Частотная инверсия спектра сигнала за счет частотного сдвига ДПФ
Тогда сигнал с инверсным по частоте спектром, согласно свойству о частотном сдвиге спектра (12), равен:
$$ s_{\rm{inv}}(n) = s(n) \cdot \exp \left( j \cdot \frac{2\pi}{N} \cdot \frac{N}{2} \cdot n\right) = s(n) \cdot \exp \big( j\cdot \pi\cdot n\big) = \left(-1\right)^n \cdot s(n). $$
(19)
Нулевой отсчет ДПФ
Нулевой отчет ДПФ есть сумма отсчетов сигнала.
$$ S(0) = \sum_{n-0}^{N-1}s(n). $$
(20)
Свойство двойственности (дуальности)
Мы рассмотрели основные свойства ДПФ. У ДПФ есть еще одно замечательно свойство: свойство двойственности (или, как еще часто говорят, дуальности), которое заключается в том, что все свойства ДПФ справедливы как для временного, так и для частотного представления сигнала.
Например, можно рассмотреть свойство ДПФ циклической свертки, которое гласит: ДПФ циклической свертки сигналов есть произведение ДПФ сворачиваемых сигналов. В то же время это можно сформулировать и в обратную сторону: ДПФ произведения сигналов есть циклическая свертка ДПФ этих сигналов.
Аналогично можно переформулировать свойство частотного сдвига. Так, сдвиг во времени приводит к умножения спектра на комплексную экспоненту, в то время как умножение сигнала на комплексную экспоненту приводит к циклическому сдвигу спектра в частотной области.
Выводы
В данном разделе мы рассмотрели основные свойства ДПФ: линейность, свойства временного и частотного сдвигов, спектр свертки и произведения сигналов, а также проанализировали инверсию спектра и сигнала. Также была показана двойственность ДПФ, позволяющая формулировать свойства одновременно как для частотного, так и для временного представления сигнала.

Ваши комментарии, вопросы и пожелания вы можете оставить на форуме или в гостевой книге.
Список литературы
[1] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов Питер, 2002.

[2] Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов Техносфера, 2006.

[3] Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов Радио и связь, 1985.

[4] Bracewell R.N. The Fourier Transform and its Applications. McGraw Hill, Singapor, 2000.

[5] Oppenheim Alan V. and Schafer Ronald W. Discrete-Time Signal Processing Second Edition. Prentice-Hall, New Jersey, 1999.

[6] Robert J. Marks II The Joy of Fourier: Analysis, Sampling Theory, Systems, Multidimensions, Stochastic Processes, Random Variables, Signal Recovery, Pocs, Time Scales, & Applications. Baylor University, 2006.

[7] Nussbaumer Henri J. Fast Fourier Transform and Convolution Algorithms. Second Corrected and Updated Edition. Springer-Verlag, 1982.

Oбнаружили ошибку в тексте? Выделите ее мышкой и нажмите
Описание (необязательно)
Закрыть Х