Связь ДПФ и ДВПФ. Ядро Дирихле

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на GitHub.

Содержание

Вводные замечания
Получение ДПФ по имеющемуся ДВПФ
Получение ДВПФ по имеющемуся ДПФ. Ядро Дирихле
Численный расчет ДВПФ путем дополнения нулями исходного сигнала
Понятие бина ДПФ
Выводы
Примечания
Список литературы

Вводные замечания

В предыдущих параграфах мы рассмотрели ДВПФ дискретного сигнала , в общем случае бесконечного во времени, а также ДПФ , , ограниченной во времени выборки сигнала , . Мы специально разделим обозначения сигналов и , а также их спектров и добавлением соответствующих аббревиатур.

Необходимо напомнить, что при вычислении ДВПФ ограниченного во времени сигнала при и , в то время как ДПФ предполагает периодическое повторение во времени. Наглядно сигналы , , а также их спектры показаны на рисунке 1.

Рисунок 1
Рисунок 1. Сигналы и спектры, демонстрирующие разницу ДВПФ и ДПФ:
a — временное представление и ;
б — спектры и

Заметим, что при , что обведено пунктиром на рисунке 1а.

ДВПФ непериодического сигнала возвращает  —непрерывную, -периодическую функцию частоты , в то время как ДПФ возвращает вектор отсчетов спектра (см. рисунок 1б).

В данном параграфе, мы покажем, ДПФ и ДВПФ имеют однозначную взаимосвязь между собой.

Получение ДПФ по имеющемуся ДВПФ

Рассмотрим преобразование ДВПФ и ДПФ:

(1)
Поскольку при , как это показано на рисунке 1а, то сравнивая выражения (1) можно заметить, что
(2)

Таким образом, можно заключить, что ДПФ получается как результат дискретизации ДВПФ на сетке частот . В результате дискретизации ДВПФ, исходный сигнал становится периодическим, аналогично тому как дискретизация сигнала приводит к периодизации его спектральной плотности.

Получение ДВПФ по имеющемуся ДПФ. Ядро Дирихле

При рассмотрении дискретных сигналов, мы говорили, что восстановление непрерывного сигнала по его дискретным отсчетам возможно если избавиться от периодического характера его спектральной плотности при помощи фильтра нижних частот. Аналогично для восстановления непрерывной функции по дискретным отсчетам ДПФ необходимо избавиться от периодического во времени характера сигнала . Для этого можно прибегнуть к умножению сигнала во времени на непериодический сигнал , который для произвольного имеет вид, показанный на рисунке 2. Заметим, что индекс в обозначении указывает длину сигнала во времени, а параметр меняется от минус бесконечности до бесконечности.

Рисунок 2
Рисунок 2. Переход от периодического дискретного
сигнала к непериодическому :
а —временно́е представление; б —спектры

Тогда можно записать для любого целого :

(3)
Представим и как результат ОДПФ и ОДВПФ, тогда
(4)
где  — ДВПФ ( имеет смысл частоты , ниже будет пояснено, почему мы не используем здесь):
(5)

Поменяем в (4) операторы суммирования и интегрирования и объединим показатели комплексных экспонент:

(6)
Введем обозначение (теперь стало ясно почему мы использовали ), тогда , и (6) принимает вид:
(7)
Можно заметить, что (7) ничто иное как ОДВПФ, в результате под интегралом находится выражение для :
(8)

Мы уже отмечали, что представляет собой ДВПФ и задаётся выражением (5). Тогда представляет собой сумму первых членов геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом . Тогда по формуле суммы первых членов геометрической прогрессии [1] имеем:

(9)
Преобразуем (9):
(10)
откуда окончательно можно записать:
(11)

Выражение (11) носит название ядра Дирихле [2, стр. 109], и представляет собой комплексную периодическую функцию, реальная и мнимая часть которой показана на рисунке 3 для .

Рисунок 3
Рисунок 3. Ядро Дирихле для

Ядро Дирихле представляет собой интерполянт, позволяющий восстановить непрерывную периодическую спектральную плотность дискретного сигнала по спектральным отсчетам ДПФ:

(12)
Периодичность ядра Дирихле по частоте является крайне важным свойством, которое позволяет записать интерполяционную формулу (12) как конечную сумму при использовании отсчетов ДПФ на одном периоде повторения. Периодичность достигается благодаря периодичности ядра Дирихле.

Численный расчет ДВПФ путем дополнения нулями исходного сигнала

При программном расчете ДВПФ мы не можем получить значения для континуального множества непрерывной частоты . Мы можем лишь рассчитать значения спектра для конечного набора фиксированных частот. ДПФ позволяет это делать для сетки , .

Однако если требуется произвести расчет для произвольной сетки частот , где количество частотных точек ДВПФ, , то мы можем воспользоваться выражением ДВПФ (1):

(13)
Заметим, что (13) отличается от ДПФ тем, что сумма состоит из слагаемых, а рассчитывается спектральных отсчетов. Но если мы учтем, что для , то можно добавить слагаемых и получим точное выражение ДПФ для сигнала заданного вектором состоящим из отсчетов, в котором последних элементов нули. Тогда окончательно можно записать:
(14)
Использование ДПФ удобно тем, что для ДПФ разработано множество высокоэффективных программ быстрого преобразования Фурье (БПФ), которые позволяют рассчитывать ДПФ значительно эффективнее, чем прямое суммирование (13), или использование интерполяционной формулы (12) с ядром Дирихле.

На практике длину часто выбирают кратной , т.е. . В этом случае производится интерполяция спектра ДПФ, как это показано на рисунке 4.

Рисунок 4
Рисунок 4. Дополнение нулями выборки дискретного сигнала:
а —добавление нулей во времени; б — спектры ДПФ

Из рисунка 4 можно видеть, что при расчете ДПФ по отсчетам, мы получаем только спектральных отсчетов на одном периоде повторения , показанной пунктирной линией. При дополнении нулями сигнала до длины (в приведенном примере ), мы получим спектральных отсчетов ДПФ на одном периоде повторения .

Таким образом, мы можем производить численный расчет одного периода на сколь угодно частой сетке частот, при дополнении исходного сигнала нулями.

Дополнение нулями можно также пояснить с позиций ДПФ следующим образом. При выводе выражения ДПФ мы раскладывали в ряд Фурье сигнал, периодически повторенный во времени бесконечное число раз. Период повторения сигнала равен отсчетов, и в результате мы получили дискретные гармоники периодического сигнала на сетке частот , т.е. отсчеты ДПФ .

Если мы дополним сигнал нулями до длины отсчетов, , то это равносильно увеличению периода повторения сигнала до отсчетов. Что в свою очередь, делает сетку частот при разложении в ряд Фурье более частой, и в результате мы получаем более детальную спектральную картину сигнала, потому что берем дискретные значения ДВПФ на более частотой сетке частот , .

Если мы увеличим период повоторения сигнала в раз, т.е. возьмем , то сетка частот будет также в раз чаще, что мы и наблюдаем на рисунке 4.

Необходимо сделать важное замечание. Дополнение нулями не добавляет информации в исходный сигнал , а значит не улучшает разрешающей способности спектрального анализа. И хотя, мы получили дополнительные спектральные отсчеты ДПФ после добавления нулей, но значения этих спектральных отсчетов не могут быть произвольными, а однозначно связаны с отсчетами ДПФ интерполяционной формулой (12).

Понятие бина ДПФ

Рассмотренная взаимосвязь дискретного спектра ДПФ и непрерывного спектра ДВПФ через интерполяционную формулу (12) позволяет сделать вывод, что отсчеты ДПФ несут собой не только задают амплитуду и фазу гармоники дискретного сигнала на заданной частоте, а в них заложена информация о поведении непрерывного спектра ДВПФ во всем диапазоне нормированной частоты от до . Это можно понять из рисунка 3, поскольку ядро Дирихле — непрерывная функция, которая носит периодический затухающе-колебательный характер, а значит, при интерполяции (12), каждый спектральный отсчет ДПФ будет влиять на поведение спектра ДВПФ во всем частотном диапазоне от до . Для подчеркивания этого спектральные отсчеты ДПФ называют бинами ДПФ[1] [2, стр. 83].

Таким образом, каждый бин ДПФ несет информацию о спектре дискретного сигнала в окрестности соответствующей частоты. При этом частота гармонического синусоидального сигнала в общем случае не попадает точно на частоту бина ДПФ, в результате чего гармонический сигнал проявляется сразу во всех бинах ДПФ с разной степенью интенсивности. Данный эффект будет рассмотрен в следующем параграфе и носит название эффекта растекания спектра.

Выводы

Итак мы рассмотрели однозначную связь спетра ДПФ и ДВПФ. Было показано, что ДПФ получается как результат дискретизации ДВПФ на одном периоде повторения спектра.

Аналогично была получена интерполяционная формула, позволяющая восстановить ДВПФ спектр как функцию непрерывной частоты используя спектральных отсчетов ДПФ . В качестве интерполянта выступает периодическая функция (ядро Дирихле).

Также был проанализирован способ численного расчета ДВПФ, и применением алгоритма ДПФ на произвольной сетке частот, который получается в результате дополнения нулями вектора отсчетов исходного сигнала.

Примечания

[1] от англ. bin (ларец или закрома)

Список литературы

[1] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Москва, Наука, 1970, 720 с.

[2] Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Москва, ООО «Бином-Пресс», 2006, 656 c.

[3] Оппенгейм А., Шаффер Р. Цифровая обработка сигналов. Москва, Техносфера, 2012. 1048 с. ISBN 978-5-94836-329-5

[4] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов СПб, Питер, 2002.