Комплексные числа и операции с ними

Введение
Известно, что область определения некоторых функций на множестве вещественных чисел ограничена. Например функция $y=\arcsin(x)$ определена для $-1 \leq x \leq 1$, аналогично можно вспомнить, что функция $y=\ln(x)$ определена для $x>0$, а функция $y=\sqrt{x}$ определена для $x \geq 0$.
Однако, ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел не означает, что $y=\sqrt{-1}$, $y=\arcsin(2)$ или $y=\ln(-3)$ не имеют смысла. Ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел говорит лишь о том, что $y=\sqrt{-1}$ не может быть представлено вещественным числом. Действительно, среди вещественных чисел не найти такого числа $y$, квадрат которого был бы равен $-1$.
При решении квадратных уравнений часто возникает ситуация, когда дискриминант отрицательный. В этом случае это означает что парабола не пересекает прямую абсцисс ни в одной точке. Другими словами, корни квадратного уравнения не существуют среди вещественных значений и их также надо искать за пределами вещественных чисел.
Все бесконечное множество вещественных чисел можно представить в виде одной числовой прямой (смотри рисунок 1), на которой мы можем откладывать рациональные и иррациональные вещественные числа. Но на этой прямой нет числа $y=\sqrt{-1}$, значит его надо искать вне числовой прямой. Таким образом мы должны расширить множество вещественных чисел до множества в котором значения $y=\sqrt{-1}$, $y=\arcsin(2)$ или $y=\ln(-3)$ уже не бессмысленны, а являются такими же обычными числами в этом расширенном множестве, как $y=\sqrt{4}$ на множестве вещественных чисел.
Комплексная плоскость и мнимая единица
Естественным расширением числовой прямой является плоскость, которую называют комплексной плоскостью. Числовая прямая вещественных чисел и ее расширение до комплексной плоскости показано на рисунке 1. Любая точка на комплексной плоскости определяет одно комплексное число. Например на рисунке 1 показано число $z_0 = a+ j \cdot b.$
(1)
(1)
$|z_0|-$неотрицательное вещественное число характеризующее длину вектора и называется модулем комплексного числа. При этом сам вектор комплексного числа $z_0$ повернут относительно реальной оси $\Re(z)$ на некоторый угол $\phi$, называемый фазой. Фаза комплексного числа может быть положительной или отрицательной, в зависимости от того в каком направлении относительно оси $\Re(z)$ отсчитывать угол. Если угол поворота вектора на комплексной плоскости отсчитывать против часовой стрелки (как это показано на рисунке 1), то фаза будет принимать положительные значения, а если по часовой — то отрицательные.
Связь реальной и мнимой частей комплексного числа с его амплитудой и фазой представлено следующим выражением:
(2)
(2)
Тогда комплексное число $z_0$ можно представить в тригонометрической форме:
(3)
(3)
Связь угла поворота вектора комплексного числа с реальной и мнимой частью комплексного числа, представленного в алгебраической форме:
(4)
(4)
тогда
(5)
(5)
где $\Phi(a,b)$ учитывает четверть комплексной плоскости в которой расположено число $z_0$:
(6)
(6)
Необходимость поправки $\Phi(a,b)$ возникает из-за того, что функция $\tan(x)$ периодическая функция с периодом $\pi$ рад . В результате $\arctan(x)$ возвращает корректные значения только в интервале $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. Таким образом функция арктангенса не отличает четверть I от четверти III (в обоих случаях отношение $\frac{b}{a}$ положительное), а также не отличает четверть II от четверти IV (отношение $\frac{b}{a}$ отрицательное).
На рисунке 2 показаны значения параметра $\Phi(a,b)$, в зависимости от того в какой четверти комплексной плоскости расположено число.
(7)
(7)
Рассмотрим случай, когда комплексное число $z_0 = a + j \cdot b$ расположено во второй четверти комплексной плоскости (рисунок 2б), т.е. $a < 0$ и $b > 0$. В этом случае $\frac{b}{a} < 0$ и угол $\alpha = \arctan \left( \frac{b}{a} \right)$ также будет отрицательным (красная пунктирная линия). Тогда для того, чтобы получить корректное значение фазы $\phi$ необходимо ввести поправку $\Phi(a,b) = \pi$ рад:
(8)
(8)
Пусть комплексное число $z_0 = a + j \cdot b$ расположено в третьей четверти комплексной плоскости (рисунок 2в), т.е. $a < 0$ и $b < 0$. В этом случае $\frac{b}{a} > 0$ и угол $\alpha = \arctan \left( \frac{b}{a} \right)$ будет положительным (красная пунктирная линия). Тогда для того, чтобы получить корректное значение фазы $\phi$ необходимо ввести поправку $\Phi(a,b) = -\pi$ рад:
(9)
(9)
Если $z_0 = a + j \cdot b$ расположено в четвертой четверти комплексной плоскости (рисунок 2г), т.е. $a > 0$ и $b < 0$, то в этом случае $\frac{b}{a} < 0$ и угол $\alpha = \arctan \left( \frac{b}{a} \right)$ будет отрицательным и равным фазе комплексного числа $\phi$ без поправок ($\Phi(a,b) = 0$ рад):
(10)
(10)
Функция которая позволяет получить фазу комплексного числа $\phi$ c учетом четверти комплексной плоскости в которой расположено комплексное число называется функция арктангенс-2 и обозначается $\operatorname{atan2}(b,a)$. Функция арктангенс-2 присутствует во всех математических приложениях и может быть использована для расчета верного угла поворота вектора комплексного числа.
Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера
Мы уже рассмотрели алгебраическую и тригонометрическую формы записи комплексного числа. Помимо алгебраической и тригонометрической формы существует также показательная форма комплексного числа:
(11)
(11)
связанная с тригонометрической формой формулой Эйлера:
(12)
(12)
Cоотношение (12) легко доказать, если произвести разложение экспоненты в ряд Тейлора:
(13)
(13)
Представим ряд (13) в виде суммы четных и нечетных членов последовательности:
(14)
(14)
Рассмотрим более подробно мнимую единицу в четной и нечетной степенях. Из определения мнимой единицы можно сделать вывод, что $j^2 = -1$, тогда $j^4 = j^2 \cdot j^2 = 1$, в свою очередь $j^6 = j^2 \cdot j^2 \cdot j^2 = -1$. Таким образом, можно сделать вывод что $j^{2n} = (-1)^n$. Построим аналогичным образом соотношение для нечетных степеней: $j^1 = j$, тогда $j^3 = j \cdot j^2 = -j$, в свою очередь $j^5 = j \cdot j^4 = j$ и окончательно можно записать: $j^{2n+1} = (-1)^n \cdot j$. Тогда (14) можно представить как:
(15)
(15)
В выражении (15) первая сумма по четным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции $\cos(\phi)$, а вторая сумма по нечетным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции $\sin(\phi)$. Таким образом, получено доказательство справедливости формулы Эйлера (12).
Необходимо отметить, что формула Эйлера является одной из важнейших в теории функций комплексного переменного. Так например при помощи формула Эйлера можно связать математические константы $\operatorname{e}$ и $\pi$ с использованием мнимой единицы $j$:
(16)
(16)
Операции над комплексными числами. Комплексно-сопряженные числа
В данном параграфе мы кратко рассмотрим операции над комплексными числами. Сумма двух комплексных чисел $z_0 = a_0 + j \cdot b_0$ и $z_1 = a_1 + j \cdot b_1$ представляет собой комплексное число $z = z_0 + z_1:$
(17)
(17)
При сложении реальные и мнимые части комплексного числа также складываются. На комплексной плоскости операцию сложения можно реализовать как сложение векторов комплексных чисел по правилу параллелограмма (рисунок 3а).
(18)
(18)
При вычитании реальные и мнимые части комплексного числа также вычитаются. На комплексной плоскости операцию вычитания можно реализовать как вычитание векторов по правилу параллелограмма (рисунок 3б). На первом шаге из вектора $z_1$ формируется вектор $-z_1$ (обозначенный пунктирной линией на рисунке 3б), после чего вектор $z_0$ складывается с вектором $-z_1$ по правилу параллелограмма.
Для того чтобы получить формулу для умножения комплексных числен необходимо перемножить два комплексных числа по правилу умножения многочленов:
(19)
(19)
Умножение комплексных проще выполнять если числа представлены в показательной форме:
(20)
(20)
При перемножении в показательной форме модули комплексных чисел перемножаются а фазы складываются. Операция произведения комплексных чисел показано на рисунке 3в.
Введем понятие комплексно-сопряженного числа. Число $z_0^* = a_0 - j \cdot b_0$ является комплексно-сопряженным числу $z_0 = a_0 + j \cdot b_0$. Комплексно-сопряженные числа отличаются знаком перед мнимой частью. Графически комплексно-сопряженные числа показаны на рисунке 3г. При этом можно заметить, что модули комплексно-сопряженных чисел равны $|z_0| = |z_0^*|,$ а фазы имеют противоположные знаки. Произведение комплексно-сопряженных чисел
(21)
(21)
представляет собой действительное число равное квадрату модуля этих чисел.
Из элементарных операций нам осталось рассмотреть лишь деление комплексных чисел. Рассмотрим результат деления комплексных чисел в показательной форме:
(22)
(22)
Таким образом, при делении комплексных чисел модуль частного равен частному модулей исходных чисел, а фаза равна разности фаз исходных чисел. При этом необходимо потребовать, чтобы $|z_1|$ был не равен нулю, иначе у нас появится деление на ноль при расчете модуля частного.
Рассмотрим теперь деление комплексных чисел в алгебраической форме:
(23)
(23)
Домножим и числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное знаменателю:
(24)
(24)
Выводы
В данной статье введено понятие комплексного числа и рассмотрены основные его свойства. Введено понятие мнимой единицы.
Подробно рассмотрена комплексная плоскость и представление комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Введены понятия модуля и фазы комплексного числа.
Рассмотрены основные арифметические операции над комплексными числами. Показано как выполнять операции сложения, вычитания в алгебраической форме, введено понятие комплексно-сопряженных чисел, а также операции умножения и деления в показательной и алгебраической формах.

Список литературы
[1] Пантелеев А.В., Якимова А.С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах. М: Высшая школа, 2011.

[2] Дубровин В.Т. Теория функций комплексного переменного. Теория и практика Казань: Казанский государственный университет, 2010. [PDF]