Комплексные числа и операции с ними

Введение
Известно, что область определения некоторых функций на множестве вещественных чисел ограничена. Например функция определена для , аналогично можно вспомнить, что функция определена для , а функция определена для .
Однако, ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел не означает, что , или не имеют смысла. Ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел говорит лишь о том, что не может быть представлено вещественным числом. Действительно, среди вещественных чисел не найти такого числа , квадрат которого был бы равен .
При решении квадратных уравнений часто возникает ситуация, когда дискриминант отрицательный. В этом случае это означает что парабола не пересекает прямую абсцисс ни в одной точке. Другими словами, корни квадратного уравнения не существуют среди вещественных значений и их также надо искать за пределами вещественных чисел.
Все бесконечное множество вещественных чисел можно представить в виде одной числовой прямой (смотри рисунок 1), на которой мы можем откладывать рациональные и иррациональные вещественные числа. Но на этой прямой нет числа , значит его надо искать вне числовой прямой. Таким образом мы должны расширить множество вещественных чисел до множества в котором значения , или уже не бессмысленны, а являются такими же обычными числами в этом расширенном множестве, как на множестве вещественных чисел.
Комплексная плоскость и мнимая единица
Естественным расширением числовой прямой является плоскость, которую называют комплексной плоскостью. Числовая прямая вещественных чисел и ее расширение до комплексной плоскости показано на рисунке 1. Любая точка на комплексной плоскости определяет одно комплексное число. Например на рисунке 1 показано число
Рисунок 1. Расширение множества вещественных чисел до множества комплексных числел.
Значение вещественного числа однозначно определяет его позицию на числовой прямой, однако для определения позиции на плоскости одного числа недостаточно. Для «навигации» по комплексной плоскости вводятся две прямые и , которые пересекаются в начале координат. Прямая это числовая прямая, называемая реальной осью, на которой лежат все вещественные числа. Прямая называется мнимой осью и она перпендикулярна реальной оси . Оси и делят комплексную плоскость на четверти, как это показано на рисунке 1.
Любая точка комплексной плоскости задается двумя координатами и по осям и соответственно. При этом само комплексное число можно записать как , где называется реальной частью и задает координату точки комплексной плоскости на вещественной прямой , а называется мнимой частью и задает координату точки комплексной плоскости на мнимой оси .
Для того чтобы отделить одну координату от другой (реальную и мнимую части) вводят число , называемое мнимой единицей. Это так раз то число, которого не существует на множестве действительных чисел. Оно обладает особым свойством: . Тогда комплексное число может не только перемещаться по вещественной прямой вправо и влево, но и двигаться по комплексной плоскости потому что мы добавили ему слагаемое с мнимой единицей .
Мнимую единицу в математической литературе принято обозначать как но в технике буква уже закреплена за обозначением электрического тока, поэтому чтобы избежать путаницы мы будем обозначать мнимую единицу буквой .
Если и , тогда число является действительным и располагается на реальной оси .
Если и , тогда число является чисто мнимым и располагается на мнимой оси .
Если и , тогда число располагается в одной из четвертей комплексной плоскости.
Модуль и фаза комплексного числа
Представление комплексного числа как называют алгебраической формой записи. Если из начала координат комплексной плоскости к точке восстановить вектор (смотри рисунок 1), то можно вычислить длину этого вектора как
(1)
(1)
неотрицательное вещественное число характеризующее длину вектора и называется модулем комплексного числа. При этом сам вектор комплексного числа повернут относительно реальной оси на некоторый угол , называемый фазой. Фаза комплексного числа может быть положительной или отрицательной, в зависимости от того в каком направлении относительно оси отсчитывать угол. Если угол поворота вектора на комплексной плоскости отсчитывать против часовой стрелки (как это показано на рисунке 1), то фаза будет принимать положительные значения, а если по часовой — то отрицательные.
Связь реальной и мнимой частей комплексного числа с его амплитудой и фазой представлено следующим выражением:
(2)
(2)
Тогда комплексное число можно представить в тригонометрической форме:
(3)
(3)
Связь угла поворота вектора комплексного числа с реальной и мнимой частью комплексного числа, представленного в алгебраической форме:
(4)
(4)
тогда
(5)
(5)
где учитывает четверть комплексной плоскости в которой расположено число :
(6)
(6)
Необходимость поправки возникает из-за того, что функция периодическая функция с периодом рад . В результате возвращает корректные значения только в интервале . Таким образом функция арктангенса не отличает четверть I от четверти III (в обоих случаях отношение положительное), а также не отличает четверть II от четверти IV (отношение отрицательное).
На рисунке 2 показаны значения параметра , в зависимости от того в какой четверти комплексной плоскости расположено число.
Рисунок 2. Значение поправки фазы комплексного числа в зависимости от расположения на комплексной плоскости.
На рисунке 2а исходное комплексное число расположено в первой четверти комплексной плоскости и . Тогда и значение фазы комплексного числа равно:
(7)
(7)
Рассмотрим случай, когда комплексное число расположено во второй четверти комплексной плоскости (рисунок 2б), т.е. и . В этом случае и угол также будет отрицательным (красная пунктирная линия). Тогда для того, чтобы получить корректное значение фазы необходимо ввести поправку рад:
(8)
(8)
Пусть комплексное число расположено в третьей четверти комплексной плоскости (рисунок 2в), т.е. и . В этом случае и угол будет положительным (красная пунктирная линия). Тогда для того, чтобы получить корректное значение фазы необходимо ввести поправку рад:
(9)
(9)
Если расположено в четвертой четверти комплексной плоскости (рисунок 2г), т.е. и , то в этом случае и угол будет отрицательным и равным фазе комплексного числа без поправок ( рад):
(10)
(10)
Функция которая позволяет получить фазу комплексного числа c учетом четверти комплексной плоскости в которой расположено комплексное число называется функция арктангенс-2 и обозначается . Функция арктангенс-2 присутствует во всех математических приложениях и может быть использована для расчета верного угла поворота вектора комплексного числа.
Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера
Мы уже рассмотрели алгебраическую и тригонометрическую формы записи комплексного числа. Помимо алгебраической и тригонометрической формы существует также показательная форма комплексного числа:
(11)
(11)
связанная с тригонометрической формой формулой Эйлера:
(12)
(12)
Cоотношение (12) легко доказать, если произвести разложение экспоненты в ряд Тейлора:
(13)
(13)
Представим ряд (13) в виде суммы четных и нечетных членов последовательности:
(14)
(14)
Рассмотрим более подробно мнимую единицу в четной и нечетной степенях. Из определения мнимой единицы можно сделать вывод, что , тогда , в свою очередь . Таким образом, можно сделать вывод что . Построим аналогичным образом соотношение для нечетных степеней: , тогда , в свою очередь и окончательно можно записать: . Тогда (14) можно представить как:
(15)
(15)
В выражении (15) первая сумма по четным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции , а вторая сумма по нечетным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции . Таким образом, получено доказательство справедливости формулы Эйлера (12).
Необходимо отметить, что формула Эйлера является одной из важнейших в теории функций комплексного переменного. Так например при помощи формула Эйлера можно связать математические константы и с использованием мнимой единицы :
(16)
(16)
Операции над комплексными числами. Комплексно-сопряженные числа
В данном параграфе мы кратко рассмотрим операции над комплексными числами. Сумма двух комплексных чисел и представляет собой комплексное число
(17)
(17)
При сложении реальные и мнимые части комплексного числа также складываются. На комплексной плоскости операцию сложения можно реализовать как сложение векторов комплексных чисел по правилу параллелограмма (рисунок 3а).
Рисунок 3. Операции над комплексными числами.
Разность двух комплексных чисел и представляет собой комплексное число
(18)
(18)
При вычитании реальные и мнимые части комплексного числа также вычитаются. На комплексной плоскости операцию вычитания можно реализовать как вычитание векторов по правилу параллелограмма (рисунок 3б). На первом шаге из вектора формируется вектор (обозначенный пунктирной линией на рисунке 3б), после чего вектор складывается с вектором по правилу параллелограмма.
Для того чтобы получить формулу для умножения комплексных числен необходимо перемножить два комплексных числа по правилу умножения многочленов:
(19)
(19)
Умножение комплексных проще выполнять если числа представлены в показательной форме:
(20)
(20)
При перемножении в показательной форме модули комплексных чисел перемножаются а фазы складываются. Операция произведения комплексных чисел показано на рисунке 3в.
Введем понятие комплексно-сопряженного числа. Число является комплексно-сопряженным числу . Комплексно-сопряженные числа отличаются знаком перед мнимой частью. Графически комплексно-сопряженные числа показаны на рисунке 3г. При этом можно заметить, что модули комплексно-сопряженных чисел равны а фазы имеют противоположные знаки. Произведение комплексно-сопряженных чисел
(21)
(21)
представляет собой действительное число равное квадрату модуля этих чисел.
Из элементарных операций нам осталось рассмотреть лишь деление комплексных чисел. Рассмотрим результат деления комплексных чисел в показательной форме:
(22)
(22)
Таким образом, при делении комплексных чисел модуль частного равен частному модулей исходных чисел, а фаза равна разности фаз исходных чисел. При этом необходимо потребовать, чтобы был не равен нулю, иначе у нас появится деление на ноль при расчете модуля частного.
Рассмотрим теперь деление комплексных чисел в алгебраической форме:
(23)
(23)
Домножим и числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное знаменателю:
(24)
(24)
Выводы
В данной статье введено понятие комплексного числа и рассмотрены основные его свойства. Введено понятие мнимой единицы.
Подробно рассмотрена комплексная плоскость и представление комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Введены понятия модуля и фазы комплексного числа.
Рассмотрены основные арифметические операции над комплексными числами. Показано как выполнять операции сложения, вычитания в алгебраической форме, введено понятие комплексно-сопряженных чисел, а также операции умножения и деления в показательной и алгебраической формах.

Список литературы
[1] Пантелеев А.В., Якимова А.С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах. М: Высшая школа, 2011.

[2] Дубровин В.Т. Теория функций комплексного переменного. Теория и практика Казань: Казанский государственный университет, 2010. [PDF]